ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СЕВЕРО - КАВКАЗСКИЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Методическая разработка
урока математики по теме:
«Показательная функция, ее график».
Преподаватель математики
ГАПОУ «СКАТК»
Дзигасова Роза Романовна
г. Ардон 2025г.
Пояснительная записка
Тема «Показательная функция» изучается на 1 курсе в рамках главы 4 «Корни, степени, логарифмы» Башмаков М. И. Математика.
На ее изучение дается два часа уроки №109 и 110, которые распределены так, что на первом уроке изучается определение показательной функции и ее график, а на втором ее свойства выводятся по графику функции. Это классическая тема курса алгебры и начал анализа. Изучение показательной функции предоставляет большие возможности обогатить знания обучающихся о функциях вообще, о способах их задания, о связи способа задания функции с ее свойствами.
На примере показательной функции можно развить представления о функциях как о модели процессов и закономерных связей явлений.
Тема «Показательная функция» тесно связана с темами «Степени с различными показателями», «Степенная функция», как бы обобщает предметное содержание понятия степень и в тоже время является ступенькой перехода к теме «Логарифмы».
Представленный урок – это урок изучения новой темы, на котором в ходе фронтальной работы, обучающихся формулируют определение показательной функции, а затем строят график, а на следующем уроке исследуют функцию, предварительно построив график. Знания определения и свойств показательной функции будут применены при решении показательных уравнений и неравенств.
Для развития самостоятельности, логического мышления студентов предлагаются проблемно-поисковые ситуации, выполнение нестандартных заданий, различных видов деятельности.
В целях демонстрации связей математики с другими предметами на уроке, будет показано, что само понятие показательной функции и, вытекающее из него, понятие экспоненциальной функции имеют большое практическое приложение, так как описывают законы природы, техники и общества. И это дает возможность формирования у обучающихся целостной картины окружающего мира и развития познавательного интереса к математике как науке.
С целью формирования у обучающихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры, использованы исторические сведения. Обучающиеся должны:
Знать:
· определение показательной функции;
· алгоритм построения графика показательной функции;
Уметь:
· находить области определения и значений функции,
· строить по точкам графики показательных функций,
· строить эскиз графика показательной функции у=ax в зависимости от значения основания a.
· сравнивать числа с применением свойств показательной функции
· применять свойство возрастания/убывания при решении задач
Общие компетенции
ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-07
Планируемые результаты обучения
ПК 5.1,ПР3, ПР4, ПР7
Дисциплина: Математика.
1курс - урок №109
Преподаватель: Дзигасова Роза Романовна ГАПОУ «СКАТК»
Тема: Показательная функция.
Некоторые наиболее часто встречающиеся
виды трансцендентных функции, прежде
всего показательные, открывают доступ
ко многим исследованиям.
Л.Эйлер.
Цели урока: формировать овладение каждым обучающимся знаний
показательной функции, построение графика показательной
функции.
Задачи урока:
Образовательные - научить обучающихся определять показательную
функцию, строить график показательной функции;
Развивающие – развивать умения и навыки обучающихся определять
показательную функцию, самостоятельно выполнять
построение ее графика с разными основаниями,
развивать чувство ответственности и навыки
самостоятельного труда, развивать алгоритмическое
мышление, наблюдать, сравнивать, делать выводы,
обобщать, использовать аналогии.
Воспитательные - воспитывать навыки культуры труда, эстетический
вкус, интерес к теме, к предмету, воспитывать и
активизировать у обучающихся интерес к получению
новых знаний, формировать точность и аккуратность
при выполнении чертежей.
Методическая тема:
«Совершенствование фонда оценочных средств, как условие повышения качества подготовки квалифицированных специалистов на уроках
Тип урока: комбинированный урок.
Оборудование: интерактивная доска совместно с мультимедийным проектором и компьютером, Переносная доска, Классная доска, Доклады обучающихся (опережающее задание), Игра: «Прочитай слово».
Методы: объяснительно – иллюстративный, репродуктивный;
Методические приемы (МП):
словесные: рассказ, работа с учебником;
наглядные: иллюстрация, демонстрация слайдов;
решение типовых упражнений.
План урока
Организационный момент -2мин.
Проверка домашнего задания -5мин.
Изучение нового теоретического материала - 15 мин.
Закрепление теоретического материала -17 мин.
Домашнее задание - 2мин.
Подведение итогов урока -2 мин.
Рефлексия - 2мин.
Ход урока:
1.Организационный момент: подготовка студентов к уроку (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей, проверка готовности рабочих мест студентов и преподавателя, готовности обучающихся к работе.)
На первом этапе преподаватель приветствует студентов, проверяет готовность группы к работе.
2.Проверка изученного материала.
Один из обучающихся на доске решает:
Карточка №1. №431(а; в)
Найти значение числового выражения
а)81/2:(81/6.93/2)=? б) 87/3:810,75=?.
Карточка№2
Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения.
Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? За 3 секунды?
За это время, с остальными обучающимися проводится устный опрос по дом.заданию (вопросы на интерактивной доске).
Преподаватель:
1. Что такое степень с рациональным показателем?
2.Какими свойствами обладает степень с рациональным показателем?
3.Найдите значение выражения устно:
163/4; 491/2; 812/4.
Задача. Численность населения Индонезии составляет 2,4.108 человек, а Венгрии- 9,9.106 человек. Во сколько раз численность населения Индонезии больше численности населения Венгрии?
Далее, проверили задание на доске и оценили работу обучающегося по карточке №1.
Преподаватель: Обратите внимание на решение задачи по карточке №2.
Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения.
Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до 25). За 3 секунды? (увеличится до 125). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий. Перед нами небольшая проблема - Как решать такие задачи?
3.Изучение новой темы:
Зависимость такого типа между двумя переменными была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, в предвыборных кампаниях.
Например:
а) В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц. Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Команда кандидата будет очень быстро расти.
б) В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую - вдвое больше, чем за предыдущую. Человеку трудно представить себе порядок величины 264-1(общее число зерен, плату за изобретение шахмат).
Преподаватель:
С примерами быстро растущих функций человек столкнулся очень давно. Для зависимостей такого вида составлена следующая математическая модель: y = aх.
Я предлагаю вам сегодня на уроке исследовать эту математическую модель.
А значит “изучить функцию”.
Преподаватель: Что такое функция?
Ответ: Функцией называется зависимость переменной У от переменной Х, при которой каждому Х соответствует единственное У.
Преподаватель: Функция – основной математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.
Какие функции нам известны?
-Линейная функция, описывает, например, равномерное прямолинейное движение;
-Квадратичная функция – описывает движение с ускорением;
-Обратная пропорциональность – описывает, например, зависимость объема, занимаемого газом, от его плотности.
Если зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому рациональному числу m/n - число аm/n, то мы будем иметь числовая функция f(х)=ах.
Как называется эта числовая функция??? Поможет нам ответить на этот
вопрос правильно, разгаданный ребус. (Показываем на переносной доске - ребус).
Правильно мы разгадали ребус - «Показатель», а функция будет называться?
Обучающиеся: «Показательная функция».
Преподаватель:
Чтобы узнать полное название темы урока и цель урока, мы с вами еще поработаем устно: «Составь слово». (Задания проецируются на интерактивную доску).
Решите пример, выберите букву, соответствующую ответу, и из всех букв cоставьте слово.
1)33+3= ф - 2
2)2-3+7/8 = а - 10
3)52 - 15= р - 1
4)81/3 = и- 4
5)24:4 = к – 27
6)93/2 =. г - 30
Преподаватель: Правильно составили слово – это слово «ГРАФИК».
Итак, тема нашего урока: «Показательная функция и ее график».
На уроке мы должны научиться определять показательную функцию, изображать эскиз графика показательной функции и в конце урока провести коррекцию знаний.
Преподаватель: Функция, заданная формулой у = ах (где а> 0, а≠1), называется показательной с основанием а или обращаем внимание на слайд (Записываем в тетради).
Преподаватель: Например:
Обучающийся: у=5х, у=3х, у=2х, у=(1/2)Х.
Такие функции называются показательными.
Преподаватель: Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число. Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов.
Обратите внимание на эпиграф к уроку. Обучающийся: Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функции, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.
Преподаватель: Любая функция имеет свой график.
Вопрос: Что мы называем графиком функции?
Обучающийся: Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости, где у = f(х), а х «пробегает» всю область определения функции f
Преподаватель: Построим графики функции у=2х и у = (1/2)х .
Преподаватель: (Обращаем внимание на интерактивную доску) Объяснение:
Рассматривая графики показательных функций с основаниями 2, 3, 5, 10. Смотрите построение графика функции y=2x выше
Выводы записать в тетради:
1) Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда больше нуля (E (y)=R+).
2) Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
3) Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
Такой же вид имеет график функции у = ах, если 0<a<1.
y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x.
Сделать выводы и записать в тетради:
Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.
1) Переменная х может принимать любое значение: D (y )= R, при этом область значений функции: E (y) = R+.
2) Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
3)Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
4) Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
4.Закрепление.
Преподаватель: По графику показательной функции мы выведем ее свойства, а затем научимся решать графически показательные уравнения, но это на следующих уроках, а сейчас.
1)Построите график функции у = 2 х+1.
Как это сделать, кто как думает?
Решение.
Обучающийся: Сначала строим график функции у=2х, а затем приподнимаем его на единицу по оси Ох (попробуйте изобразить график функции у = 2 х+1-дома).
А сейчас (раздали листочки с вопросами) тест на закрепление темы урока.
Самостоятельная работа – тест (3мин.)
1. В какой функции переменная представляет собой основание:
а) y = 0,4x б) y = x3 в) y = 3x
2.Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют:
а) показательной б) степенная в) линейной
3. Какая из функций является показательной:
а) у= 1,2х б) у=2x — 7 в) у= x — 3
4. Напишите показательную функцию с основанием 5 и показателем х+1
а) y = х5+1 б) y = x5 в) y = 5x+1
5.Функцию вида y=ха, где х – любое число, называют:
а) показательной б) степенная в) линейной
Собираем работы и пока проверяется тест слушаем обучающегося с опережающим заданием.
Обучающийся: Доклад - по интерактивной доске.
С целью формирования у обучающихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры, использованы исторические сведения.
Законы, подчиняющиеся показательной функции
1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N = N0 · akt,
2)Давление воздуха изменяется по закону: P = P0 · a-kh,
3) Закон роста древесины: D = D0 · akt,
4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T = T0 + (100 – T0)e-kt.
5)Закон поглощения света средой: I = I0 · e-ks,
6)Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой 
,
Радиоактивный распад
.
Задача:
Ежемесячно на банковский вклад, равный S 0 рублей начисляется р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за х месяцев?
Решение.
Пусть р = 2%, х = 12 месяцев. Тогда за год банковский вклад возрастет на
Ответ: на 27%.
5.Подведение итогов урока и оценка знаний обучающихся.
6. Домашнее задание:
- Башмаков М. И. Математика: §18, Стр.163-165
-Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2018
П35, Построить график функции у=3х и у = (1/3)х
7.Коррекция знаний.
Преподаватель: У вас на столах коррекционные листы, где вы должны продолжить предложение - со следующей колонки и передать мне при выходе.
Литература:
- Башмаков М. И. Математика: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования, Москва: КНОРУС, 2021.(Рекомендовано для ТОП-50)
-Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2018
