Площадь поверхности многогранников.

Простейшие комбинации многогранников

КГБПОУ «Алтайская академия гостеприимства»

Г.А.Горлова, преподаватель математики

Как найти площадь поверхности любого многогранника, даже самого сложного? Этот вопрос часто возникает при изучении стереометрии.

Для начала дадим определения ключевым понятиям:

Многогранник – геометрическое тело, грани которого представляют собой многоугольники.

Площадь поверхности многогранника – сумма площадей всех граней, которые образуют его поверхность.

Основные формулы для вычисления площади поверхности:

Куб: S = 6a², где a - ребро куба.

Параллелепипед: S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c – длины ребер.

Призма: S = 2Sосн + Ph, где Sосн – площадь основания, P – периметр основания, h – высота призмы.

Площадь поверхности многогранника произвольной формы можно найти так:

-Разбить многогранник на простейшие фигуры.

-Найти площадь поверхности для каждой фигуры.

-Сложить полученные значения.

Если в многограннике есть отверстия или вырезы, то их площади нужно отдельно посчитать как для самостоятельных многогранников и вычесть из общей площади.

Например, если в кубе прорезан сквозной квадратный проём, то сначала найдем S = 6·a², затем вычислим площадь двух оснований квадрата и боковой поверхности и вычтем из площади куба.

Нахождение площади поверхности сложных многогранников.

Находить площадь поверхности сложного многогранника можно несколькими способами:

Метод сложения площадей граней. Этот способ подходит, когда у многогранника много отдельных выступов, впадин, отверстий.

Нужно:

-Разбить фигуру на простейшие части

-Для каждой части найти формулу и вычислить площадь

-Сложить все площади. Недостаток - при большом количестве деталей вычисления громоздкие.

Метод достраивания до простейшего многогранника
-Фигуру мысленно достраивают до целого куба, параллелепипеда, призмы.

-Затем вычисляют лишние части и вычитают. Хорошо подходит для фигур со сквозными отверстиями, выемками.

Природные многогранники (кристаллы) могут образовывать простые формы либо их комбинации. 

Простой формой называется совокупность тождественных граней, связанных элементами симметрии. Грани такой простой формы должны быть одинаковыми по своим физическим и химическим свойствам, а в идеально развитых многогранниках — и по своим очертаниям и величине. Примерами простых форм могут служить куб, тетраэдр, октаэдр, ромбоэдр и т. д. Если кристалл образован несколькими видами граней, это комбинация нескольких простых форм. 

Комбинацией называется сочетание двух или нескольких простых форм, объединенных элементами симметрии. Насчитывается 47 простых форм известных в природе кристаллов (рисунки 25—28).

Следует иметь в виду, что для кристаллов каждой сингонии характерны свои определенные простые формы.

Для кубической сингонии характерны только такие простые формы: куб, тетраэдр, октаэдр, тригон-тритетраэдр, тетрагон-тритетра- эдр, пентагон-тритетраэдр, ромбододекаэдр, пентагон-додекаэдр, тетрагексаэдр, гексатетраэдр, дидодекаэдр, тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр, пентагон-триоктаэдр и гексаоктаэдр (рис. 1). Перечисленные 15 простых форм не могут встречаться ни в одной из сингоний средней или низшей категорий.

Рисунок 1 - Простые формы высшей категории (кубическая сингония):

1— тетраэдр; 2 — тригон-тритетраэдр; 3 — тетрагон-тритетраэдр; 4 — пентагон-тритетраэдр; 5 — гексатетраэдр; 6 — октаэдр; 7 — тригон-триоктаэдр; 8 — тетрагон-триоктаэдр; 9 — пентагон-триоктаэдр; 10 — гексаоктаэдр; 11 — куб (гексаэдр); 12 — тетрагексаэдр; 13 — ромбододекаэдр; 14 — пентагон-додекаэдр; 15 — дидодекаэдр.

В средней категории встречается 25 простых форм, присутствие которых невозможно ни в высшей, ни в низшей категориях. Это различные пирамиды, дипирамиды, призмы (рисунок 2); кроме того, здесь присутствуют три трапецоэдра — тригональный, тетрагональный и гексагональный; два скаленоэдра — тетрагональный и дитригональный и ромбоэдр (рисунок 27).

Трапецоэдры отличаются от пирамид тем, что нижняя их половина смещена по отношению к симметричной верхней на некоторый угол. Ромбоэдр получается при деформации куба вдоль оси третьего порядка.

В средней категории встречается также тетрагональный тетраэдр. В отличие от тетраэдра кубической сингонии у него грани — равнобедренные треугольники, а не равносторонние, а в отличие от ромбического тетраэдра в сечении он дает квадрат. Скаленоэдры получаются при удвоении граней тетраэдра и ромбоэдра.

Рисунок 2 - Простые формы сингоний средней категории

1 — тригональная призма; 2 — тетрагональная призма; 3 — гексагональная призма; 4 — дитригональная призма; 5 — дитетрагональная призма; 6 — дигексагональная призма; 7 — тригональная пирамида; 8 — тетрагональная пирамида; 9 — гексагональная пирамида; 10 — дитригональная пирамида; 11 —дитетрагональная пирамида; 12 — дигексагональная пирамида.

Рисунок 3 - Простые формы сингоний средней категории

1— тригональная дипирамида; 2 — тетрагональная дипирамида; 3 — гексагональная дипирамида; 4 — дитригональная дипирамида; 5 — дитетрагональная дипирамида; 6 — дигексагональная дипирамида; 7 — тригональный трапецоэдр; 8 — тетрагональный трапецоэдр; 9 — гексагональный трапецоэдр; 10 — дитригональный скаленоэдр; 11 —тетрагональный скаленоэдр; 12 — ромбоэдр; 13 — тетрагональный тетраэдр.

Например, куб, октаэдр, тетраэдр являются закрытыми простыми формами. Однако среди простых форм есть такие, которые неполностью замыкают пространство (например, призмы, пирамиды). Такие формы называются открытыми.

В низшей категории присутствуют свои особые простые формы (их всего 7) (рисунок 4). Следует отметить, что моноэдр и пинакоид встречаются и в кристаллах средней категории. Ромбическая призма может присутствовать как в ромбической, так и в моноклинной сингониях.

Тригональная и гексагональная призмы и некоторые другие простые формы (например, тригональная и гексагональная пирамиды и др.) могут быть обнаружены как среди тригональных, так и гексагональных кристаллов.

Простые формы образуют великое множество комбинаций. Этим и объясняется то разнообразие геометрических форм, которое присуще природным многогранникам.

В кристаллографии в отличие от геометрии имеют дело не только с закрытыми, но и с открытыми формами.

Открытые формы могут существовать в кристалле только в сочетании с другими простыми формами, образуя комбинации простых форм.

Рисунок 4 -Простые формы сингоний низшей категории

1 — моноэдр; 2 — пинакоид; 3 — диэдр; 4 — ромбическая призма; 5 — ромбический тетраэдр; 6 — ромбическая пирамида; 7 — ромбическая дипирамида.