Статья по математике на тему:
Тригонометрические функции. Секанс.
Выполнила: Демагина Юлия Павловна
Студентка 1 курса 017 группы
Проверила: Болотова Дарья Павловна
Тригонометрия, несмотря на свою фундаментальную роль в математике, до сих пор хранит немало загадок даже для подготовленного читателя. Одной из таких загадок является понятие "секанс" - термин, часто встречающийся в тригонометрических формулах и задачах, но далеко не всегда понятный. Давайте разберемся, что же на самом деле означает "секанс это" в контексте тригонометрии.
Происхождение термина "секанс"
История термина "секанс" уходит своими корнями в Древнюю Индию, где в трактатах по математике впервые появляется понятие "ардха-джива" - "полутетива". Это название со временем трансформировалось в просто "джива" и в таком виде попало к арабским математикам. Однако арабы не стали переводить это слово, а транскрибировали его арабскими буквами как "джайб", что буквально означает "впадина" или "пазуха". При переводе арабских математических трактатов на латынь европейцы перевели "джайб" как латинское "sinus", имеющее аналогичный смысл. Впоследствии Леонард Эйлер ввел современное обозначение этой функции как "sec", от латинского "секанс". Таким образом, этимология термина "секанс" тесно связана с понятиями хорды и тетивы окружности, обозначавшими отрезки, соединяющие концы дуг окружности. Эта связь сохранилась и в современном определении секанса через trigonometric functions.
Определение секанса в тригонометрии
В тригонометрии секанс острого угла \alpha определяется как отношение длины гипотенузы \textit{c} прямоугольного треугольника к длине прилежащего катета \textit{b}: sec \alpha = \dfrac{c}{b} Это определение можно обобщить на любой действительный аргумент с помощью тригонометрических функций: sec x = \dfrac{1}{\cos x} Таким образом, секанс - это в тригонометрии - величина, обратная косинусу угла. Геометрически секанс показывает, во сколько раз гипотенуза больше прилежащего катета в прямоугольном треугольнике.
Свойства и график функции секанс
Рассмотрим основные свойства функции секанс:
Секанс - неограниченная функция, так как \
cos
x принимает значения от -1 до 1
Секанс - четная функция:
sec
(-x) =
sec
(x)
Секанс - периодическая функция с периодом 2\
pi
График функции секанс имеет две вертикальные асимптоты \dfrac{\pi}{2} + k\pi, где k - целое число. Точки экстремума:
Локальные минимумы 1 в точках 2k\
pi
Локальные максимумы -1 в точках \
pi
+ 2k\
pi
Производная функции секанс равна:
(sec x)' = tan x \
cdot
sec x
А интеграл от секанса имеет вид:
\
int
sec x dx = ln|\tan(\
frac
{x}{2} + \
frac
{\
pi}{
4})| + C
Зная эти свойства, можно построить график функции секанс, а также решать различные задачи с ее использованием.
Применение секанса на практике
Помимо чисто теоретического интереса, секанс находит применение для решения прикладных задач в различных областях. Рассмотрим некоторые примеры использования этой функции.
Вычисление элементов треугольников
Одно из основных применений секанса - это вычисление элементов треугольника, если известно соотношение некоторых его сторон. Например, если в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и один из катетов b, то величина острого угла α определяется по формуле:
sec
α = \
dfrac
{c}{b}
Применение секанса в оптике
В оптике при решении задач на преломление и отражение света часто используется понятие угла падения светового луча на границу раздела двух сред. Вычисление элементов с использованием секанса данного угла позволяет найти искомые характеристики преломленного или отраженного луча.
Роль секанса в теории машин и механизмов
При кинематическом и динамическом анализе различных механизмов, включая рычажные, зубчатые и кулачковые, в расчетах часто фигурирует угол поворота того или иного звена. Соотношения, содержащие секанс этого угла, позволяют установить взаимосвязь кинематических и динамических параметров механизма.
Применение в гармоническом анализе
Одно из важных применений секанса и других тригонометрических функций - разложение периодических процессов в ряд Фурье. Коэффициенты такого ряда как раз и задаются через секанс, косинус и синус углов, соответствующих частотам гармоник разлагаемого процесса.
Другие примеры использования секанса
Кроме перечисленных областей, секанс и косеканс применяются во многих задачах физики, химии, биологии, экономики и других наук. Например, секанс используется в астрономии при вычислении положения небесных тел, в статистике - при нахождении ошибок измерений и доверительных интервалов, в эконометрике - при моделировании колебаний экономических показателей и так далее.
