Специальные методы нахождения корней алгебраических уравнений

Аннотация

Хочу представить вашему вниманию работу по теме "Специальные методы нахождения корней алгебраических уравнений".

Изучение методов нахождения корней алгебраических уравнений традиционно является важнейшей составной частью как школьного курса математики, так и высшего курса математики. К решению уравнений сводятся многие математические задачи. На экзаменах по математике постоянно предлагается решить алгебраическое уравнение.

В школе изучая математику, мы всё время решали уравнения и продолжаем их решать, обучаясь в ВУЗе. Для каждого типа уравнений нам предлагаются различные методы решения, и, наверное, у кого-то создается впечатление о существовании огромного числа всевозможных приемов, которые нужно запомнить. Но на самом деле это не совсем так. Существует несколько общих принципов и методов, которые и нужно довольно хорошо знать.

Цель: систематизировать методы нахождения корней алгебраических уравнений, получить формулы нахождения корней для некоторых классов уравнений пятой степени.

Задачи:

Ознакомиться

с

видами

алгебраических

уравнений.

Изучить

существующие

данные

о

способах

решения

алгебраических

уравнений.

Установить

связь между

видами

алгебраических

уравнений и

методом

(методами)

его решения.

Найти алгоритм решения некоторого класса уравнений пятой степени. Данная работа состоит из двух частей реферативной и самостоятельной.

Первая часть реферативная.

Рассматриваются различные методы и приёмы решения алгебраических уравнений, также рассматриваются некоторые типы уравнений и их решения.

Ознакомимся с применением некоторых методов:

Метод

введения

параметра

√

Рассмо√тр им уравнение x4 − 2 2x2 − x + 2 = 0

Пусть 2 = α, 2 = α2

Наше уравнение будет записано следующим образом:

−−α2 α(1 + 2x2) + (x4 x) = 0

−−−D = (1 + 2x2)2 4(x4 x) = 1 + 4x2 + 4x4 4x4 + 4x = 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 1 + 2x2 + 2x + 1

α1 = 2

= x2 + x + 1

α2 =

1 + 2x2 − (2x + 1)

2

= x2 − x

Получили два у√равнения.

x

2

+

x

+

1

=

√

2

√√x2 + x + (1 −

D = 1 − 4(1 √−

2) = 0

2)1 − 4 + 4 2

x1,2

= −1 ±

4√2 − 3

√2

x

2

−

x

√

=

 

2

 

√x2 − x −

D = 1 + 4

2 = 0

 

2

x3,4

= 1 ± 1 + 4√2

√√√2

Ответ: x

 

1,2

= −1 ± 4√2 − 3 , x

2

 

3,4

= 1 ± 1 + 4√2 .

2

Рассмотрим

симметрическое

уравнение

Дано уравнение x3 + 9x2 + 9x + 1 = 0

Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения:

x3 + 9x2 + 9x + 1 = x3 + 1 + 9x2 + 9x = (x + 1)(x2 − x + 1) + 9x(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 + 9x) =

2= (x + 1)(x + 8x + 1)

Отсюда

x3 + 9x2 + 9x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 8x + 1) = 0 ⇔ x + 1 = 0 и x2 + 8x + 1 = 0

Найдем корн√и уравнения x2 +√8x + 1

1,222x = −8 ± 64 − 4 = −8 ± 2 15 = −4 ± √15

Так же мы имеем к√орень x3 = −1

— ±Ответ:x1,2 = 4

Пример

15, x3 = −1 3) Формула Кардано

y3 + 3y2 − 3y − 14 = 0

Решение: Подстановка y = x − 1 приводит данное уравнение к виду

x3 − 6x − 9 = 0

Где p = −6, q = −9, поэтому

q2 p3

+ =

4 27

49 > 0,

4

По формулам (??) мы получаем α = 39 + 7 = √3 8,т.е. уравнение x3 − 6x − 9 = 0 имеет оrдин действительный и два комплексных корня.

 

 

β = r3

2 2

229 − 7 = √3 1

Поэтому α1 √= 2, β1 = 1, т.е. √x1 = 3. Два других корня найдем по формулам (??):

3 3 3 3

x2 = −2 + i 2 , x3 = −2 − i 2 √ √

Следовательно, что корнями заданного уравнения являются y

= 2, y

5 3

= − +i , y =

5 3

i

4)Метод Феррари Пример.

x4 − 2x3 + 2x2 + 4x − 8 = 0

—Решение: Сделаем замену x = y b .

4

1 2 2

2 3 −2 − 2

—(y + 1 )4 2(y +

2

1 )3

2

+ 2(y +

1 )2

2

+ 4(y +

1

−

8

=

0

После раскрытия скобок и приведения подобных получим:

—216216y4 + 1 y2 + 5y − 91 = 0(∗∗) т.е. p = 1 , q = 5, r = −91

Составим

уравнение

вида

z2 + pz2 +

p2 4r q2

4 z − 8 ,

от этого уравнения нужен лишь один его

288корень z0 ( если q /= 0, то это уравнение всегда имеет положительный корень). Получим: z2 + 1 z2 + 46 z − 25 = 0

1Подберем корень этого уравнения. Корнем является z0 =

2

Корни

уравнений

(**)

определим

из

уравнений:

( проверить это можно подстановкой).

2 √ p q

0y − 2z0y + (2 + z0 + 2√2z

) = 0

2 √ p q

0y + 2z0y + (2 + z0 − 2√2z

) = 0

Решим первое:

2 √ p q

y − 2z0y + (2 + z0 + 2√2z

1115r 0

) = 0

2—y 2 y + ( + +

2 2 · 2 2

2r2

) = 0

1

 

2

—y2 y + 13 = 0

4

D = 1 − 13 =√−12

y1,2

= 1 ± 2i 3

2

Решим второе:

2 √ p q

y + 2z0y + (2 + z0 − 2√2z

111qr 0

) = 0

2y + 22 y + (2 · 2 + 2 −

5r2

) = 0

1

 

2

—y2 + y 7 = 0

4

D = 1 + 7 = 8√

y3,4

= −1 ± 2 2

2

Итого корни ура√вн ений (**): √

y1,2

= 1 ± 2i 3 , y

2

 

3,4

= −1 ± 2 2 .

2

Сделаем

обратную

замену:

1

x = y +

2

1

1 ± 2i√3 1 √

x1,2 = y1,2 + 2 =

2 √+ 2 = 1 ± i 3;

x = y

+ 1 = −1 ± 2 2 + 1 = ±√2

3,4 3,4 2 √ 2 2√

Ответ: x1,2 = 1 ± i 3, x3,4 = ± 2

Вторая часть работы написана на основе самостоятельных исследований. Английский математик Хенрик Абель сформулировал теорему:

Теорема 1. Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше

4-й неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей корни общего уравнения степени выше 4-й через коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корней натуральной степени.

Тем не менее можно указать класс уравнений 5 степени, для которых существуют формулы нахождения корней.

Рассмотрим

h, C — параметры.

x5 − hCx3 + 4hC2x − C2 = 0, (1)

В качестве решения возьмём x = α + β и подставим в уравнение (1)

(После преобразования левой части уравнения приходим к тому, что должны выполняться следующие соотношения

α5β5 = 1024C5

α5 + β5 = C2,

То есть α5 , β5 — корни уравнения.

ss5z2 − C2z + 1024C5 = 0.

2x = α + β = 5 C +

2

C4

 

 

r——C4 C2

1024C5 +

4 2

 

 

r—C4

1024C5

4

—D = 1024C5 назовём дискриминантом исходного уравнения.

4

В работе проведены исследования корней данного уравнения в зависимости от знака D

Пусть

D

>

0

Тогда данное уравнение имеет один действительный и две пары комплексно сопряженных корня.

x1 = α0 + β0 , где α0 , β0 — действительные значения α и β

π π π π π π

x2 = α0(− cos( 5 ) + i · sin( 5 )) + β0(− cos( 5 ) − i · sin( 5 ) = − cos( 5 )(α0 + β0) + i · sin( 5 )(α0 − β0), x3 = x2 ,

4055055500x = α (− cos( 3 · π ) + i · sin( 3 · π )) + β (− cos( 3 · π ) − i · sin( 3 · π ) = − cos( 3 · π )(α + β ) +

·+ i sin( 3 · π )(α

5 0

x5 = x4

— β0),

Пусть

D

=

0

Все корни действительны.

√x1 = 2α0 ,

1 + 5

 

1 + √5

x2 = x3 = x4 = x5 = −2α0

Пусть

D

<

0

.

4 = −α0 2 .

Данное уравнение имеет 5 попарно различных действительных корня. Рассмотрим примеры.

Пример 1

−−Найти дискриминант и корни данного уравнения x5 40x3 + 320x 1056 = 0

Решение:

D = b2 − a5 = 5282 − 85 = 278784 − 32768 = 246016 = 4962 > 0.

x1 = α0 + β0 = 4 + 2 = 6

π π π π

x2 = α0 · ε2 + β0 · ε3 = −cos 5 (4 + 2) + i · sin 5 (4 − 2) = −6cos 5 + i · 2sin 5

π π π π

x3 = α0 · ε3 + β0 · ε2 = −cos 5 (4 + 2) − i · sin 5 (4 − 2) = −6cos 5 − i · 2sin 5

4010455553 · π 3 · π 3 · π 3 · π x = α · ε + β · ε = −cos (4 + 2) + i · sin (4 − 2) = −6cos + i · 2sin

504015555553 · π 3 · π 3 · π 3 · π x = α · ε + β · ε = −cos (4 + 2) − i · sin (4 − 2) = −6cos + i · 2sin

1Ответ:x

= 6, x

π π

,255= −6cos + i · 2sin x

π π

,355= −6cos − i · 2sin x

= −6cos 3 · π + i · 2sin3 · π ,

4555x = −6cos 3 · π + i · 2sin3 · π

Пример 2

−−Найти дискриминант и корни данного уравнения x5 45x3 + 405x 486 = 0

Решение:

D = b2 − a5 = 2432 − 95 = 59049 − 59049 = 0.

x1 = 2 · α0 = 6

 

π pi

1 + √5

1 + √5

√ x2 = x3 = x4 = x5 = −2 · α0 · cos 5 = −6 · cos 5 = −6 ·

1 + 5

4 = −3 · 2

Ответ:x1 = 6, x2 = x3 = x4 = x5 = −3 · 2

Пример 3

−−Найти дискриминант и приближенное значение корней данного уравнения x5 40x3 + 320x 4 = 0

Решение: Найдем дискриминант по формулам, которые были найдены выше. В данном случае у нас a = 8 и b = 2.

−−−−D = b2 a5 = 22 85 = 4 32768 = 32764 < 0

Найдем корни данного уравнения, для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и решим следующее уравнение:

(x − γ)(x4 − (α + β)x3 − (4 − αβ)x2 + 4(α + β)x − 4αβ) = x5 − (α + β)x4 − (4 − αβ)x3 + 4(α + β)x2 −

42543

— 4αβx − γx + γ(α + β)x + γ(4 − αβ)x − 4γ(α + β)x + 4αβγ = x − (α + β + γ)x − (4 − αβ −

32— γ(α + β))x + (4(α + β) + γ(4 − αβ))x − (4αβ + 4γ(α + β))x + 4αβγ = 0

Найдем неизвестные α, β и γ .

 

−α − β − γ = 0

4 − αβ − γ(α + β) = 40

−4αβ − 4γ(α + β) = 320

4αβγ = −4

1α + β = −γ

γαβ = −

γ12 4 + 4γ2 = 3204 + + γ



γ

= 40

1244 + γ + γ − 36 = 0

 γ + 4γ2 − 320 = 0

(Умножим первое и второе уравнение на γ

γ3 − 36γ + 1 = 0

4γ3 − 320γ + 4 = 0

Мы получили два уравнения третьей степени,рассмотрим каждое уравнение по отдельности и воспользуемся формулой Кардано.

γ

3

−

36

γ

+

1

=

0

,

p

=

−

36

,

q

=

1

q2 p3

1 46656

D = 4 + 27 = 4 − 27 = 0, 25 − 1728 < 0

В этом случае имеем три вещественных корня

≈ −≈≈γ1 6, 01, γ2 5, 99 и γ3 0, 03.

Мы получили три значения для γ теперь нужно найти три значения α и β , которые будут соответствовать значениям γ .

−

Пусть

γ

1

≈

−

6

,

01

,

тогда

получаем

систему:

α1 + β1 = γ1

α1 · β1 = −γ1

1

−−α1 = γ1 β1

α1 · β1 = −γ1

1

(α1 = 6, 01 − β1

(6, 01 − β1)β1 = 0, 17

2−β1 + 6, 01β1 − 0, 17 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

1β2 − 6, 01β1 + 0, 17 = 0

≈−·−D (6, 01)2 4 0, 17 = 36, 1201 0, 68 = 35, 4401 = (5, 95)2

Найдем β11 и β12

β11 ≈

6, 01 + 5, 95

=

2

11, 96

= 5, 98

2

1222β ≈ 6, 01 − 5, 95 = 0, 06 = 0, 03

Следовательно, мы можем найти α11 и α12 α11 ≈ 6, 01 − β11 = 6, 01 − 5, 98 = 0, 03

α12 ≈ 6, 01 − β12 = 6, 01 − 0, 03 = 5, 98

−

Пусть

γ

2

≈

5

,

99

,

тогда

получаем

систему:

α2 + β2 = γ2

1

2α2 · β2 = −γ

−−α2 = γ2 β2

α2 · β2 = −γ1

2

(α2 = −5, 99 − β2

(−5, 99 − β2)β2 = −0, 17

2−β2 − 5, 99β2 + 0, 17 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

2—β2 + 5, 99β2 0, 17 = 0

≈·D (5, 99)2 + 4 0, 17 = 35, 8801 + 0, 68 = 36, 5601 = (6, 05)2

Найдем β21 и β22

2122β ≈ −5, 99 + 6, 05 = 0, 06 = 0, 03

2222β ≈ −5, 99 − 6, 05 = −12, 04 = −6, 02

Следовательно, мы можем найти α11 и α12 α21 ≈ −5, 99 − β21 = −5, 99 − 0, 03 = −6, 02

α22 ≈ −5, 99 − β22 = −5, 99 + 6, 02 = 0, 03

−

Пусть

γ

3

≈

0

,

03

,

тогда

получаем

систему:

α3 + β3 = γ3

α3 · β3 = −γ1

3

−−α3 = γ3 β3

α3 · β3 = −γ1

3

(α3 = −0, 03 − β3

(−0, 03 − β3)β3 = −33, 34

2−β3 − 0, 03β3 + 33, 34 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

3—β2 + 0, 03β2 33, 34 = 0

≈·D (0, 03)2 + 4 33, 34 = 0, 0009 + 133, 36 = 133, 3609 = (11, 55)2

Найдем β31 и β32

3122β ≈ −0, 03 + 11, 55 = 11, 52 = 5, 76

3222β ≈ −0, 03 − 11, 55 = −11, 58 = −5, 79

Следовательно, мы можем найти α31 и α32 α31 ≈ −0, 03 − β31 = −0, 03 − 5, 76 = −5, 79

α32 ≈ −0, 03 − β32 = −0, 03 + 5, 79 = 5, 76

γ

3

−

80

γ

+

1

=

0

,

p

=

−

80

,

q

=

1

q2 p3

1 512000

D = 4 + 27 = 4 − 27 < 0

В этом случае имеем три вещественных корня

γ4 ≈ −8, 95, γ5 ≈ 8, 94 и γ6 ≈ 0, 01.

Мы получили три значения для γ теперь нужно найти три значения α и β , которые будут соответствовать значениям γ .

−

Пусть

γ

4

≈

−

8

,

95

,

тогда

получаем

систему:

α4 + β4 = γ4

α4 · β4 = −γ1

4

−−α4 = γ4 β4

α4 · β4 = −γ1

4

(α4 = 8, 95 − β5

(8, 95 − β4)β4 = 0, 11

2−β4 + 8, 95β4 − 0, 11 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

4β2 − 8, 95β1 + 0, 11 = 0

≈−·−D (8, 95)2 4 0, 11 = 80, 1025 0, 44 = 79, 6625 = (8, 92)2

Найдем β41 и β42

β41 ≈

8, 95 + 8, 92

=

2

17, 87

= 8, 935

2

4222β ≈ 8, 95 − 8, 92 = 0, 03 = 0, 015

Следовательно, мы можем найти α41 и α42 α41 ≈ 8, 95 − β41 = 8, 95 − 8, 935 = 0, 015

α42 ≈ 8, 95 − β42 = 8, 95 − 0, 015 = 8, 935

−

Пусть

γ

5

≈

8

,

94

,

тогда

получаем

систему:

α5 + β5 = γ5

α5 · β5 = −γ1

5

−−α5 = γ5 β5

α5 · β5 = −γ1

5

(α5 = −8, 94 − β5

(−8, 94 − β5)β5 = −0, 11

2−β5 − 8, 94β5 + 0, 11 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

5—β2 + 8, 94β2 0, 11 = 0

≈·D (8, 94)2 + 4 0, 11 = 79, 9236 + 0, 44 = 80, 3636 = (8, 96)2

Найдем β51 и β52

5122β ≈ −8, 94 + 8, 96 = 0, 02 = 0, 01

5222β ≈ −8, 94 − 8, 96 = −17, 9 = −8, 95

Следовательно, мы можем найти α51 и α52 α51 ≈ −8, 94 − β51 = −8, 94 − 0, 01 = −8, 95

α52 ≈ −5, 99 − β52 = −8, 94 + 8, 95 = 0, 01

−

Пусть

γ

6

≈

0

,

01

,

тогда

получаем

систему:

α6 + β6 = γ6

α6 · β6 = −γ1

6

−−α6 = γ6 β6

α6 · β6 = −γ1

6

(α6 = −0, 01 − β6

(−0, 01 − β6)β6 = −100

2−β6 − 0, 01β6 + 100 = 0

Умножим последнее уравнение на −1

6—β2 + 0, 01β6 100 = 0

≈·D (0, 01)2 + 4 100 = 0, 0001 + 100 = 100, 0001 = (10, 000005)2

Найдем β61 и β62

6122β ≈ −0, 01 + 10, 000005 = 9, 990005 = 4, 995

6222β ≈ −0, 01 − 10, 000005 = −10, 010005 = −5, 005

Следовательно, мы можем найти α61 и α62 α61 ≈ −0, 01 − β61 = −0, 01 − 4, 995 = −5, 005

≈ −−−α62 0, 01 β62 = 0, 01 + 5, 005 = 4, 995

Таким образом мы нашли три неизвестных, которые являются корнями нашего уравнения. Ответ: γ1 ≈ −6, 01, β11 ≈ 5, 98, β12 ≈ 0, 03, α11 ≈ 0, 03, α12 ≈ 5, 98, γ2 ≈ 5, 99, β21 ≈ 0, 03,

β22 ≈ −6, 02, α21 ≈ −6, 02, α22 ≈ 0, 03, γ3 ≈ 0, 03, β31 ≈ 5, 76, β32 ≈ −5, 79, α31 ≈ −5, 79,

α32 ≈ 5, 76, γ4 ≈ −8, 95,β41 ≈ 8, 935, β42 ≈ 0, 015, α41 ≈ 0, 015, α42 ≈ 8, 935, γ5 ≈ 8, 94, β51 ≈ 0, 01,

β52 ≈ −8, 95, α51 ≈ −8, 95, α52 ≈ 0, 01, γ6 ≈ 0, 01, β61 ≈ 4, 995, β62 ≈ −5, 005, α61 ≈ −5, 005,

α62 ≈ 4, 995.

В данной работе был рассмотрен теоретический материал по нахождению корней алгебраического уравнения различными методами, являющихся универсальными для различных типов уравнений. Были найдены корни уравнений пятой степени определенного вида и выявлен некий алгоритм их решения. Данная работа также направлена на самостоятельное изучение обучающимися методов нахождения корней алгебраических уравнений и на обучение решать уравнения с использованием полученных знаний, с её помощью могут быть найдены корни уравнений с наивысшей степенью равной пяти. Весь теоретический материал сопровождается довольно подробным объяснением и закрепляется разбором типовых задач.

Также работа может быть полезна и учителям, которые решили обобщить способы решения алгебраических уравнений на итоговых уроках и познакомить детей с классом уравнений, неразрешимых в радикалах.

Несомненно, работа будет полезна и ученикам, самостоятельно изучающим математику более углубленно, чем на уроках.

В ходе работы, были более детально изучены методы нахождения корней уравнений различных степеней, полученные знания будут использованы при решении уравнений различных типов на практике.

И в конце, хотелось бы привести выражение российского математика, педагога, автора многочисленных учебников и пособий для школьников, доктора физико-математических наук, профессора, действительного члена Российской академии образования Марка Ивановича Башмакова:

"Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть."